フィボナッチの数列は有名
(定義)
第1項と第2項との和が第3項になるのから始まって
「第n項+第(n+1)項=第(n+2)項」という漸化式で表現される。
一般項として第n項をnの関数で表現しようとすると無理数が要る。
(やり方)
第n項をA(n)と書く。定義からA(n)+A(n+1)=A(n+2)・・・①
適切なα,βを用いて①を
A(n+2)−αA(n+1)=β(A(n+1)−αA(n))・・・②
と変形できれば上手くいく。
②を整頓してA(n+2)=(α+β)A(n+1)−αβA(n)
さらに整頓して−αβA(n)+(α+β)A(n+1)=A(n+2)・・・③
③と①とを同値にするのだからα+β=1 αβ=−1
2次方程式の解と係数との関係から
αとβはX^2−X−1=0の解である。(Xの2乗をX^2と書いた)
解の公式から(1±√5)/2
ここに黄金比が出てくる。
さて②からは
A(n+1)−αA(n)=C(n)・・・④
と決めて簡潔に
C(n+1)=βC(n)と表現できるC(n)は等比数列である。
C(n)=β^(n-1)×C(1)=β^(n-1)×(A(2)−αA(1))
求めることができたC(n)を用いれば④より
A(n)=αA(n-1)+C(n-1)
これを連続していけば
A(n)=αA(n-1)+C(n-1)
=α(αA(n-2)+C(n-2))+C(n-1)
=α(α(αA(n-3)+C(n-3))+C(n-2))+C(n-1)
=α^3×A(n-3)+α^2×C(n-3)+α×C(n-2)+C(n-1)
=α^(n-1)×A(1)+
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