√２：２：１＋√５ 左利き　沖縄県在住　３１歳

http://micci.sansu.org/bbbss/light.cgi?page=...

ここで２つの図形に関する性質を，５つほど箇条書きで示そうと思います．題名である√２：２：１＋√５に近い図形を図Ａ，遠い図形を図Ｂとします．

・図Ａおよび図Ｂの短辺と長辺の比は√２：１＋√５（白銀比×黄金比）

・図Ａで最大の黄金長方形と２番目に大きい黄金長方形との短辺および長辺の比は１＋√２：１（第２貴金属比）

・２番目に大きい黄金長方形と３番目に大きい黄金長方形との短辺および長辺の比は√２：１（白銀比）

・図Ｂで最大の白銀長方形の短辺と２番目に大きい白銀長方形の長辺の比は１＋√５：２（黄金比）

・最大の白銀長方形と２番目に大きい白銀長方形との短辺および長辺の比は１＋√５：√２（白銀比×黄金比）

ところで第２貴金属比である１：１＋√２も白銀比と呼ばれますが，私としては１：√２を白銀比と呼ぶにふさわしいと考えるので，１：１＋√２については別称である第２貴金属比を使っています．
ちなみに黄金比の別称が第１貴金属比です．また図Ａでは黄金長方形によって対称の美が生まれ，図Ｂでは白銀長方形によってらせんの美が形づくられている点も面白いと思います．

https://www.youtube.com/watch?v=Wdc-z1a1KCA

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フィボナッチの数列は有名
（定義）
第１項と第２項との和が第３項になるのから始まって
「第n項＋第(n+1)項＝第(n+2)項」という漸化式で表現される。

一般項として第n項をnの関数で表現しようとすると無理数が要る。

（やり方）
第n項をA(n)と書く。定義からA(n)＋A(n+1)＝A(n+2)・・・①

適切なα，βを用いて①を
A(n+2)−αA(n+1)＝β(A(n+1)−αA(n))・・・②
と変形できれば上手くいく。

②を整頓してA(n+2)＝(α+β)A(n+1)−αβA(n)
さらに整頓して−αβA(n)＋（α＋β）A(n+1)＝A(n+2)・・・③

③と①とを同値にするのだからα＋β＝１　　αβ＝−１
２次方程式の解と係数との関係から
αとβはX^2−X−１＝０の解である。（Xの２乗をX^2と書いた）

解の公式から(1±√5)/2
ここに黄金比が出てくる。

さて②からは
A(n+1)−αA(n)＝C(n)・・・④
と決めて簡潔に
C(n+1)＝βC(n)と表現できるC(n)は等比数列である。
C(n)＝β^(n-1)×C(1)＝β^(n-1)×(A(2)−αA(1))

求めることができたC(n)を用いれば④より
A(n)＝αA(n-1)＋C(n-1)
これを連続していけば
A(n)＝αA(n-1)＋C(n-1)
＝α（αA(n-2)＋C(n-2)）＋C(n-1)
＝α（α（αA(n-3)＋C(n-3)）＋C(n-2)）＋C(n-1)
＝α^3×A(n-3)＋α^2×C(n-3)＋α×C(n-2)＋C(n-1)

＝α^(n-1)×A(1)＋

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